Наконец-то решил проблему:
в файле MySQL my.ini в команде
init-connect="SET NAMES utf8"
вместо utf8 я изначально написал utf-8.

Интересное поведение. Спасибо, что отписали. Буду иметь в виду.

#1184 - Aborted connection 6 to db: 'unconnected' user: 'pma' host: 'localhost' (init_connect command failed)

После замены имени pma на user - то же самое:

#1184 - Aborted connection 35 to db: 'unconnected' user: 'user' host: 'localhost' (init_connect command failed)

Наконец-то решил проблему:
в файле MySQL my.ini в команде
init-connect="SET NAMES utf8"
вместо utf8 я изначально написал utf-8.

в них упоминается pma

pma - это имя пользователя через которого подключаются таблицы расширений. Можно попробовать создать нового пользователя и подключиться через него.

Версии MySQL и phpMyAdmin вполне актуальны. Смотрите записи в журнале ошибок MySQL.

Версии: MySQL 5.5.28  phpMyAdmin 3.5.3

При каждой новой попытке зайти в phpMyAdmin ответ MySQL бывает разный (не всегда он умирает), но ошибка одна и та же.

Ответ разный - значит надо смотреть какой. Проще всего в журнале ошибок посмотреть. В каталоге data есть файл .err, который является журналом ошибок MySQL.

Какие версии MySQL и phpMyAdmin используются?

anvsm66 сказал:

MySQL server has gone away

Могу только посоветовать переустановить MySQL, предварительно сохранив данные БД. От запроса MySQL не должен умирать.

anvsm66 сказал:

когда пытаюсь открыть окно phpMyAdmin.
у меня значит там прописано

При открытии phpMyAdmin вы видите конфигурационный файл? Странно.

anvsm66 сказал:

если закоментировать строку $cfg['Servers'][$i]['controluser'] = 'pma'; всё работает.

А если выполнить в phpMyAdmin запрос сервер уходит в отказ?
SET CHARACTER SET 'utf8';

При каждой новой попытке зайти в phpMyAdmin ответ MySQL бывает разный (не всегда он умирает), но ошибка одна и та же.

Конфигурационный файл я, конечно, не вижу. Это просто автор поста двухлетней давности не совсем правильно выразил мысль, а я его процитировал.
При попытке открыть phpMyAdmin вылетает ошибка.
А прописано это всё в файле config.inc.php.

Наверно, переустановлю MySQL и phpMyAdmin, скачав более ранние (и уже стабильные) версии.

MySQL server has gone away

Могу только посоветовать переустановить MySQL, предварительно сохранив данные БД. От запроса MySQL не должен умирать.

При открытии phpMyAdmin вы видите конфигурационный файл? Странно.

А если выполнить в phpMyAdmin запрос сервер уходит в отказ?
SET CHARACTER SET 'utf8';

Ошибка

SQL-запрос:

SET CHARACTER SET 'utf8';

Ответ MySQL:
#2006 - MySQL server has gone away

......когда пытаюсь открыть окно phpMyAdmin.

у меня значит там прописано
<?php
$i = 0;
$i++;
$cfg['Servers'][$i]['host'] = 'localhost';
$cfg['Servers'][$i]['extension'] = 'mysqli';
$cfg['Servers'][$i]['connect_type'] = 'tcp';
$cfg['Servers'][$i]['compress'] = false;
$cfg['Servers'][$i]['auth_type'] = 'config';
$cfg['Servers'][$i]['user'] = 'root';
$cfg['Servers'][$i]['password'] = '123'; /* Пароль пользователя root. */
//
$cfg['Servers'][$i]['controluser'] = 'pma'; /* Имя созданного вами только что пользователя для доступа к расширенным таблицам. */
$cfg['Servers'][$i]['controlpass'] = '12345'; /* А здесь его пароль. */
$cfg['Servers'][$i]['pmadb'] = 'phpmyadmin';
$cfg['Servers'][$i]['bookmarktable'] = 'pma_bookmark';
$cfg['Servers'][$i]['relation'] = 'pma_relation';
$cfg['Servers'][$i]['table_info'] = 'pma_table_info';
$cfg['Servers'][$i]['table_coords'] = 'pma_table_coords';
$cfg['Servers'][$i]['pdf_pages'] = 'pma_pdf_pages';
$cfg['Servers'][$i]['column_info'] = 'pma_column_info';
$cfg['Servers'][$i]['history'] = 'pma_history';
$cfg['Servers'][$i]['tracking'] = 'pma_tracking';
$cfg['Servers'][$i]['designer_coords'] = 'pma_designer_coords';
?>

если закоментировать строку $cfg['Servers'][$i]['controluser'] = 'pma'; всё работает...